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Cómo funcionan los fractales

Cómo funcionan los fractales
Satisfacer
  1. Terminología fractal
  2. Antes eran fractales
  3. Las matemáticas detrás de la belleza
  4. Fractales prácticos

Terminología fractal

En el conjunto de Mandelbrot, los puntos que permanecen finitos en todas las iteraciones se muestran en blanco; los valores infinitamente divergentes se muestran más oscuros. Enciclopedia Británica / Colaborador / Getty Images

Antes de entrar en detalles, necesitamos cubrir una terminología básica que le ayudará a comprender las cualidades únicas de los fractales.

Todos los fractales muestran un grado de lo que se llama auto-semejanza. Esto significa que al observar cada vez más los detalles de un fractal, puede ver una réplica del todo. Un helecho es un ejemplo clásico. Mira el tirachinas completo. ¿Ves las ramas saliendo del tronco principal? Cada una de estas ramas se parece a todo el follaje. Son similares al original, solo que en menor escala.

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Estos modelos similares son el resultado de una simple ecuación o enunciado matemático. Los fractales se crean repitiendo esta ecuación a través de un ciclo de retroalimentación en un proceso llamado iteración, donde los resultados de una iteración forman el valor de entrada para la siguiente. Por ejemplo, si miras dentro de un caparazón de nautilus, verás que cada cámara en el caparazón es esencialmente una copia al carbón de la cámara anterior, solo un poco más pequeña a medida que las rastreas desde el exterior hacia el interior.

Fractales también recursivo cualquiera que sea la escala. ¿Alguna vez has entrado en una tienda y te has encontrado rodeado de espejos? Para bien o para mal, ves una imagen infinitamente recursiva de ti mismo.

Finalmente, una nota sobre geometría. La mayoría de nosotros crecimos aprendiendo que largo, ancho y alto son las tres dimensiones, y eso es todo. La geometría fractal convierte este concepto en una curva, creando formas irregulares. dimensión fractal; la dimensión fractal de una forma es una forma de medir la complejidad de esa forma.

Ahora toma todo y podemos verlo claramente. fractal puro es una forma geométrica auto-similar de infinitas iteraciones en un patrón recursivo e infinitos detalles. Simple, ¿verdad? No se preocupe, pronto lo haremos todo.

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Antes eran fractales

fractal

Katsushika Hokusai usó el concepto fractal de auto-semejanza en su pintura “La gran ola de Kanagawa” a principios del siglo XIX. Dominio público

Cuando la mayoría de la gente piensa en fractales, suele pensar en el más famoso de todos, el conjunto de Mandelbrot. Nombrado en honor al matemático Benoit Mandelbrot, se ha convertido virtualmente en sinónimo del concepto de fractales. Pero está lejos de ser el único fractal de la ciudad.

Mencionamos anteriormente sobre el helecho, que representa uno de los fractales simples y limitados de la naturaleza. Los fractales limitados no duran indefinidamente; muestran solo unas pocas iteraciones de formas congruentes. Incluso los fractales simples y limitados no son precisos en su auto-semejanza: es posible que el follaje del helecho no imite perfectamente la forma del follaje más grande. La espiral de una concha y los cristales de un copo de nieve son otros dos ejemplos clásicos de este tipo de fractal que se encuentran en el mundo natural. Aunque no son matemáticamente precisos, todavía tienen una naturaleza fractal.

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Los primeros artistas africanos y navajos notaron la belleza de estos patrones recursivos y buscaron emularlos en muchos aspectos de su vida cotidiana, incluido el arte y el urbanismo. [sources: Eglash, Bales]. Como en la naturaleza, el número de iteraciones recursivas de cada patrón estaba limitado por la escala del material con el que estaban trabajando.

Leonardo da Vinci también vio este motivo en las ramas de los árboles, a medida que las ramas crecían y se dividían en varias ramas. [source: Da Vinci]. En 1820, el artista japonés Katsushika Hokusai creó “La gran ola de Kanagawa”, una colorida representación de una gran ola oceánica en la que la parte superior se separa en olas cada vez más pequeñas (similares). [source: NOVA].

Los matemáticos también actuaron. A Gaston Julia se le ocurrió la idea de utilizar un ciclo de retroalimentación para producir un patrón repetido a principios del siglo XX. Georg Cantor experimentó con las propiedades de conjuntos recursivos y auto-similares en la década de 1880 y en 1904 Helge von Koch publicó el concepto de curva infinita, utilizando aproximadamente la misma técnica, pero con una línea continua. Y, por supuesto, ya hemos mencionado a Lewis Richardson explorando la idea de Koch al intentar medir la costa de Inglaterra.

Sin embargo, estas complejas exploraciones matemáticas eran en su mayor parte teóricas. En ese momento, faltaba una máquina que pudiera hacer el gruñido de tantos cálculos matemáticos en un período de tiempo razonable para averiguar adónde conducían realmente estas ideas. A medida que crecía el poder de las computadoras, también lo hacía la capacidad de los matemáticos para probar estas teorías.

En la siguiente sección, veremos las matemáticas detrás de la geometría fractal.

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Las matemáticas detrás de la belleza

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Un fractal del conjunto de Julia es el límite del conjunto completo (el conjunto de “puntos excepcionales”). Hay dos tipos de conjuntos de Julia: conjuntos conectados (conjunto de Fatou) y conjuntos de Cantor (polvo de Fatou). Enciclopedia británica / UIG a través de Getty Images

Creemos que las montañas y otros objetos del mundo real tienen tres dimensiones. En la geometría euclidiana, asignamos valores a la longitud, la altura y el ancho de un objeto y calculamos atributos como el área, el volumen y la circunferencia en función de estos valores. Pero la mayoría de los objetos no son uniformes; las montañas, por ejemplo, tienen bordes ásperos. La geometría fractal nos permite definir y medir con mayor precisión la complejidad de una forma, cuantificando la rugosidad de su superficie. Los bordes cortados de esta montaña se pueden expresar matemáticamente: inserte la dimensión fractal, que por definición es mayor o igual que la dimensión euclidiana (o topológica) de un objeto (D => DT.)

Una forma relativamente sencilla de medir esto se llama método de recuento de efectivo (o dimensión de Minkowski-Bouligand). Para probar esto, coloque un fractal en una hoja de papel cuadriculado. Cuanto más grande sea el fractal y más detallada la cuadrícula, más preciso será el cálculo del tamaño.

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D = log N / log (1 / h)

En esta fórmula, re es el tamaño, NO es el número de celdas en la cuadrícula que contienen parte del fractal dentro y H es el número de bloques de cuadrícula que cubren los fractales en el papel cuadriculado. Sin embargo, aunque este método es simple y accesible, no siempre es el más preciso.

Uno de los métodos más estándar para medir fractales es utilizar la dimensión de Hausdorff, que es D = log N / log s, donde NO es el número de partes que produce un fractal de cada segmento y S. es el tamaño de cada pieza nueva en relación con el segmento original. Parece simple, pero dependiendo del fractal puede complicarse muy rápidamente.

Puede producir una variedad infinita de fractales simplemente cambiando algunas de las condiciones iniciales de una ecuación; aquí es donde entra la teoría del caos. Superficialmente, la teoría del caos parece completamente impredecible, pero la geometría fractal intenta encontrar orden en lo que inicialmente parece caótico. Comience a contar las innumerables formas de cambiar estas condiciones en la ecuación inicial y verá rápidamente por qué hay un número infinito de fractales.

Sin embargo, no limpiarás el piso con la esponja de Menger, entonces, ¿cuál es el propósito de los fractales?

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Fractales prácticos

Después de que Mandelbrot publicara su trabajo fundamental sobre fractales en 1975, uno de los primeros usos prácticos llegó en 1978, cuando Loren Carpenter quiso crear montañas generadas por computadora. Usando fractales que comenzaban con triángulos, creó una cadena montañosa increíblemente realista [source: NOVA].

En la década de 1990, Nathan Cohen se inspiró en el copo de nieve de Koch para crear una antena de radio más compacta utilizando nada más que alambre y alicates. Hoy en día, las antenas de teléfonos móviles utilizan fractales como la esponja Menger, el fractal de caja y los fractales que llenan el espacio para maximizar la potencia de recepción en un espacio mínimo. [source: Cohen].

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Si bien no tenemos tiempo para profundizar en todos los usos que los fractales tienen para nosotros hoy, algunos otros ejemplos incluyen biología, medicina, modelado de cuencas hidrográficas, geofísica y metrología para la formación de nubes y el flujo de aire. [source: NOVA].

Este artículo tiene como objetivo ayudarlo a iniciarse en el asombroso mundo de la geometría fractal. Si tiene talento matemático, es posible que desee explorar este mundo mucho más utilizando las fuentes que se enumeran en la página siguiente. Los lectores menos inclinados a las matemáticas pueden querer explorar el potencial infinito de la habilidad y la belleza de esta increíble y compleja fuente de inspiración.

Publicado originalmente: 26 de abril de 2011

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Conjunto Mandelbrot

Esta vista parcial del conjunto de Mandelbrot, quizás el fractal más famoso del mundo, muestra el cuarto paso en una secuencia de zoom: el punto central de la “cola de caballito de mar” es también un punto de Misiurewicz. Wolfgang Beyer / (CC BY-SA 3.0)

Los fractales son una paradoja. Increíblemente simple, pero infinitamente complejo. Nuevo, pero más viejo que la suciedad. ¿Qué son los fractales? ¿De dónde vienen? ¿Por qué debería importarme?

El matemático no convencional del siglo XX Benoit Mandelbrot acuñó el término fractal de la palabra latina fractus (que significa irregular o fragmentado) en 1975. Estas formas irregulares y fragmentadas están a nuestro alrededor. En su forma más básica, los fractales son una expresión visual de un patrón o fórmula repetitiva que comienza simple y gradualmente se vuelve más complejo.

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Una de las primeras aplicaciones de los fractales ocurrió mucho antes de que se usara el término. Lewis Fry Richardson fue un matemático inglés de principios del siglo XX que estudió la longitud de la costa inglesa. Estimó que la longitud de una costilla depende de la longitud del instrumento de medición. Mida con una cinta métrica, obtendrá un número, pero mida con una regla de un pie más detallada, que tiene más en cuenta la irregularidad de la costa, y obtiene un número mayor, y así sucesivamente.

Llévelo a su conclusión lógica y terminará con una línea costera infinitamente larga que contiene un espacio finito, la misma paradoja avanzada por Helge von Koch en el Copo de nieve de Koch. Este fractal implica tomar un triángulo y transformar el tercio medio de cada segmento en una protuberancia triangular de manera que el fractal sea simétrico. Cada bulto es obviamente más largo que el segmento original, pero aún contiene el espacio finito interno.

Extraño, pero en lugar de converger a un cierto número, el perímetro se mueve al infinito. Mandelbrot vio esto y utilizó este ejemplo para explorar el concepto de dimensión fractal, demostrando así que medir una línea de costa es un ejercicio de aproximación. [source: NOVA].

Si los fractales realmente existieron todo este tiempo, ¿por qué solo oímos hablar de ellos hace unos 40 años?

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